學(xué)院（蓋章）：

負(fù)責(zé)人（簽字）：

專業(yè)代碼：070101、070102、070103、070104

專業(yè)名稱：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 、應(yīng)用數(shù)學(xué)

考試科目代碼： 611

考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析

本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱適應(yīng)于中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院數(shù)學(xué)各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試?！稊?shù)學(xué)分析》不僅是大學(xué)本科階段數(shù)學(xué)各專業(yè)重要的基礎(chǔ)課程，而且也是數(shù)學(xué)各專業(yè)研究生階段許多課程的基礎(chǔ)。這些課程從本質(zhì)上來說是數(shù)學(xué)分析延伸、深化或應(yīng)用，數(shù)學(xué)分析的基本概念、思想與方法，更是無處不在的?？忌仨氄嬲龑W(xué)好該門課的知識(shí)，為學(xué)習(xí)其他專業(yè)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（一）考試的總體要求

要求考生比較系統(tǒng)的理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握研究分析領(lǐng)域的基本方法，基本上掌握數(shù)學(xué)分析的思想和論證方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、具備較熟練的演算技能和初步的應(yīng)用能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

(二) 考試內(nèi)容

試題以華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著《數(shù)學(xué)分析》上下冊(cè)（第三版，高等教育出版社出版，2006年5月）為藍(lán)本，內(nèi)容涵蓋該教材的第一至二十二章（教材中打*號(hào)不作要求）。內(nèi)容涉及分析基礎(chǔ)、一元函數(shù)微積分、一元積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元微分學(xué)、多元積分學(xué)理論，兼顧實(shí)數(shù)完備性理論方面的內(nèi)容。試題重點(diǎn)考查的內(nèi)容：

一、分析基礎(chǔ)

1. 實(shí)數(shù)概念、確界

2. 函數(shù)概念

3. 序列極限與函數(shù)極限

4. 無窮大與無窮小

5. 連續(xù)概念與基本性質(zhì)，一致連續(xù)性

6. 實(shí)數(shù)完備性定理

二、一元微分學(xué)

1．導(dǎo)數(shù)概念與幾何意義

2．求導(dǎo)公式求導(dǎo)法則

3．高階導(dǎo)數(shù)

4．微分

5．微分中值定理

6．L’Hospital法則

7．Taylor公式

8．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

三、一元積分學(xué)

1．不定積分法與可積函數(shù)類

2．定積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算

3．定積分的應(yīng)用

4．反常積分

四、級(jí)數(shù)

1．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散判別與性質(zhì)

2．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與一致收斂性

3．冪級(jí)數(shù)

4．Fourier級(jí)數(shù)

五、多元微分學(xué)

1、歐式空間

2、多元函數(shù)的極限

3、多元連續(xù)函數(shù)

4、偏導(dǎo)數(shù)與微分

5、隱函數(shù)定理

6、Taylor公式

7、多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用

8、多元函數(shù)的極限

六、多元積分學(xué)

1、重積分的概念與性質(zhì)

2、重積分的計(jì)算

3、二重、三重積分

4、含參變量的正常積分和反常積分

5、曲面積分與Green公式

6、曲面積分

7、Gauss公式、Stokes公式、線積分與路徑無關(guān)

(三)、考試要求

一、分析基礎(chǔ)

1、了解實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，理解有界、無界及上下確界的意義。掌握絕對(duì)值不等式及平均值不等式。

2、熟練掌握函數(shù)概念（如定義域、值域、反函數(shù)等）。

3、掌握序列極限的意義、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的陳述及性質(zhì)（特別，單調(diào)序列的極限存在性定理）和運(yùn)算法則，熟練掌握求序列極限的 方法。

4、掌握函數(shù)極限的意義、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的陳述及性質(zhì)和運(yùn)算法則（自變量趨于有限數(shù)和趨于無限兩種情形），熟練掌握求函數(shù)極限的 方法，了解廣義極限和單側(cè)極限的意義。

5、熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法（如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等），掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧。

6、理解無窮大量與無窮小量，同階和高（低）階無窮大（小）量的意義，特別是等價(jià)無窮小量的意義。

7、熟練掌握函數(shù)在一點(diǎn)及在一個(gè)區(qū)域上連續(xù)的概念、理解函數(shù)兩類間斷點(diǎn)的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解介值定理，一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。

8、掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限（當(dāng)自變量趨于有限數(shù)及區(qū)域無窮兩種情形）存在的充分必要條件。

9、掌握涉及實(shí)數(shù)完備性定理的敘述以及相互之間的證明、有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

二、一元微分學(xué)

1、掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，了解單側(cè)導(dǎo)數(shù)的意義，依據(jù)定義求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

2、應(yīng)用求導(dǎo)公式和法則熟練計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)（包括用參數(shù)式給出時(shí)的導(dǎo)數(shù)）、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

3、理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分的不變性，能運(yùn)用微分做近似計(jì)算。

4、理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），并能應(yīng)用它們解決函數(shù)零點(diǎn)存在及不等式證明等問題。

5、熟練掌握應(yīng)用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。

6、理解Taylor公式（Lagrange余項(xiàng)和Peano余項(xiàng)）的意義，并熟記五個(gè)基本公式( )，能將給定函數(shù)在指定 點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，掌握應(yīng)用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問題的基本技巧。

7、熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫出函數(shù)圖像的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。

三、一元積分學(xué)

1、理解不定積分的概念和基本性質(zhì)，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，了解并應(yīng)用它們熟練計(jì)算不復(fù)雜的不定積分。

2、靈活運(yùn)用積分方法求不定積分，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單的根式的有理式的積分方法。

3、理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計(jì)算方法，了解變限定積分的性質(zhì)，掌握積分中值定理。

4、熟練應(yīng)用定積分計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)、平面圖形的面積、立體體積、旋轉(zhuǎn)曲面表面積，并應(yīng)用于求均勻平面圖形重心坐標(biāo)等簡(jiǎn)單物理、力學(xué)問題。

5理解反常積分及收斂、絕對(duì)收斂和發(fā)散的意義，掌握反常積分的收斂的判別法則。

四、級(jí)數(shù)

1、掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散和絕對(duì)收斂的概念、級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件，收斂和絕對(duì)收斂的性質(zhì)以及級(jí)數(shù)加法和乘法的運(yùn)算法則。

2、熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法（比如判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法。能計(jì)算一些特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

3、理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的意義并能夠確定其收斂域。理解函數(shù)序列收斂以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法則。

4、理解冪級(jí)數(shù)的概念并能夠確定其收斂半徑，掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，熟記五個(gè)基本冪級(jí)數(shù)展開式( )，能夠求出給定函數(shù)在制定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式及應(yīng)用冪級(jí)數(shù)運(yùn)算求一些級(jí)數(shù)的和。

5、理解函數(shù)Fourier展開式的意義，掌握Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理。逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理以及Parseval等式，并能應(yīng)用Fourier級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和（如 ）。

五、多元微分學(xué)

1、理解歐式空間中的概念及歐式空間的內(nèi)積與模、開集、開區(qū)域與閉區(qū)域的意義，了解完備性定理及緊性定理。

2、理解多元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)的重極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能夠根據(jù)定義計(jì)算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計(jì)算多元函數(shù)的重極限和累次極限。

3、理解多元連續(xù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)。并能夠判斷多元函數(shù)的連續(xù)性，了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。

4、理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握其計(jì)算法則，能夠熟練計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，能計(jì)算給定函數(shù)在給定方向上的導(dǎo)函數(shù)。

5、理解多元函數(shù)的微分的概念，并能夠判斷函數(shù)的可微性。

6、理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。

7、理解Taylor公式的意義，并能夠求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。

8、能應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求空間的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。

9、理解多元函數(shù)的極限和最值的意義，極值的充分必要條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實(shí)際問題。

六、多元積分學(xué)

1、理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。

2、掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法，平面極坐標(biāo)變換，空間柱坐標(biāo)變化和球坐標(biāo)變化），能熟練計(jì)算二重和三重積分，并用于計(jì)算平面圖形的面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍成的立體體積。

3、了解含參變量正常積分的基本性質(zhì)（連續(xù)性，積分號(hào)下取極限，求導(dǎo)和求積分），了解含參變量的反常積分一致收斂判別法，會(huì)計(jì)算 和 函數(shù)。

4、理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)，能熟練計(jì)算曲線積分。

5、理解并掌握Green公式的意義，并能應(yīng)用它計(jì)算曲線積分。

6、理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)，能熟練計(jì)算曲線積分。

7、理解并掌握Gauss公式和stolz公式的意義，能夠用于曲面積分或曲線積分的計(jì)算，了解空間曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件極其對(duì)曲線積分計(jì)算的應(yīng)用。

（四）、考試基本題型

基本題型可能有：填空題（選擇題）、計(jì)算題、證明題及綜合題等。

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