601 數(shù)學(xué)分析 考試基本要求

一 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

(1)掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)和確界原理，建立實(shí)數(shù)集確界概念;(2)理解函數(shù)的概念，熟悉與函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語。

二 數(shù)列極限

(1)理解數(shù)列極限的概念 (2)了解收斂數(shù)列的性質(zhì)，理解數(shù)列收斂性的判別法。掌握并會證明收斂數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、單調(diào)性、保號性及不等式性質(zhì);(3)掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理及單調(diào)性定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限。

三 函數(shù)極限

(1)準(zhǔn)確建立函數(shù)極限(包括單側(cè)極限)概念，理解函數(shù)極限的ε-δ，ε-M定義;(2)掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性質(zhì)等;(3)掌握Heine定理與Cauchy準(zhǔn)則;(4)掌握兩個(gè)重要極限;(5) 掌握無窮小(大)量及其階的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。

四 函數(shù)的連續(xù)性

(1)理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)(含單側(cè)連續(xù))的定義;(2)掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算性質(zhì)并能加以證明，熟悉復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性和反函數(shù)的連續(xù)性;(3) 理解初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能運(yùn)用連續(xù)性的概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運(yùn)用這一結(jié)論求初等函數(shù)的極限;(4)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)，理解其幾何意義，并能在各種有關(guān)的具體問題中加以運(yùn)用。

五 導(dǎo)數(shù)和微分

(1)掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它們的幾何意義;(2)能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(特別是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù));(3)理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法;(4)了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

六 微分中值定理及其應(yīng)用

(1)理解并掌握中值定理的幾何意義。(2)掌握常用的一些Taylor公式;掌握Taylor公式中的Lagrange余項(xiàng)和Peano余項(xiàng)。(3)能靈活運(yùn)用L’Hospital法則處理不定式極限。(4)掌握利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)討論函數(shù)性質(zhì)的方法。(5)掌握用微分學(xué)知識解決應(yīng)用問題的基本能力，如函數(shù)單調(diào)性的判定，不等式的證明，極限問題等。

七 實(shí)數(shù)的完備性

(1)理解刻劃實(shí)數(shù)完備性的確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、致密性定理、有界覆蓋定理、Cauchy收斂原理等幾個(gè)等價(jià)命題，并且會用確界定理證明一些問題;(2)會用“閉區(qū)間套定理”的二分法證明;“致密性定理”的抽子列法證明，并能證明其它的一些定理;(3)會用單調(diào)有界定理與數(shù)列極限的Cauchy收斂原理來證明一些極限存在與不存在;(4)掌握運(yùn)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理解其證明的思想方法;(5)了解數(shù)列的上極限和下極限的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系。

八 不定積分

(1) 掌握原函數(shù)與不定積分的概念;(2) 熟練掌握并能靈活應(yīng)用基本積分公式;(3) 熟練掌握湊微分法;(4)掌握換元積分法，特別能較熟練地使用三角代換、根式代換;(5)掌握用分部積分法化不定積分成代數(shù)方程，從而求解不定積分的方法;(7)掌握部分分式法解有理函數(shù)的不定積分的方法;(8)能靈活地處理三角函數(shù)的不定積分。

九 定積分

(1)理解定積分的定義及其幾何意義和物理意義;(2)了解達(dá)Darboux上、下和的性質(zhì);(3)掌握可積的充要條件，并能用以證明三類函數(shù)的可積性;(4)掌握定積分的性質(zhì)，并能進(jìn)行簡單的推理論證和計(jì)算;(5)掌握積分上限函數(shù)的性質(zhì)，并能在解題中應(yīng)用這個(gè)性質(zhì);(6)掌握Newton-Leibniz公式，能熟練地進(jìn)行積分計(jì)算;(7)能綜合運(yùn)用換元法、分部積分法和定積分的性質(zhì)進(jìn)行定積分的計(jì)算。

十 定積分的應(yīng)用

(1)掌握平面圖形的面積、平面曲線的弧長;(2) 掌握已知平行截面面積的立體的體積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積;(3) 理解微元法;(4) 了解積分在物理中的某些應(yīng)用、定積分的近似計(jì)算。

十一 反常積分

(1)理解兩種類型反常積分的定義、性質(zhì);(2)會用定義與性質(zhì)計(jì)算兩種反常積分值;(3)掌握兩種反常積分收斂的判斷法：比較判別法、Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法來判別積分收斂;(4)能用比較判別法、Cauchy判別法、Cauchy收斂原理判別反常積分的斂散性;(5)掌握兩類積分絕對收斂和條件收斂概念。

十二 數(shù)項(xiàng)級數(shù)

(1)理解數(shù)項(xiàng)級數(shù)和數(shù)列極限的關(guān)系，會用“

-N”語言表述級數(shù)收斂或發(fā)散。(2)掌握Cauchy收斂原理，能用Cauchy原理證明級數(shù)收斂與發(fā)散，熟練掌握級數(shù)的必要條件。(3)掌握正項(xiàng)級數(shù)斂散的比較原則，Cauchy判別法，達(dá)朗貝爾判別法，Cauchy積分判別法。(4)掌握Leibniz判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法，判斷級數(shù)的條件收斂。(5)理解級數(shù)收斂、絕對收斂、條件收斂之間的關(guān)系，了解絕對收斂和條件收斂級數(shù)的主要性質(zhì)，會對含有一個(gè)參數(shù)的級數(shù)確定其絕對收斂域和條件收斂域。

十三 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

(1)能用數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂判別法討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性，研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與函數(shù)列收斂域;(2)理解一致收斂概念，能從定義出發(fā)證明函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂和非一致收斂;(3)掌握Cauchy收斂原理，并能應(yīng)用于判別一致收斂與非一致收斂;(4)掌握各種判別法，研究函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性;(5)利用一致收斂性證明極限函數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性。反過來，從和函數(shù)或極限函數(shù)的分析性質(zhì)研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)或函數(shù)列的一致收斂性(Dini定理)。

十四 冪級數(shù)

(1)掌握求冪級數(shù)的收斂半徑的方法，確定收斂區(qū)間端點(diǎn)的斂散性;(2)掌握冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的內(nèi)閉一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì);(3)用等比數(shù)列求和公式，或通過利用冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求積的性質(zhì)，可化為等比數(shù)列求和求出某些冪級數(shù)的和函數(shù)的初等形式。

十五 Fourier級數(shù)

(1)了解三角級數(shù)的正交性，并能在某些積分計(jì)算中加以應(yīng)用;(2)會計(jì)算可積函數(shù)的Fourier系數(shù);(3)掌握收斂定理的條件與結(jié)論，會用收斂定理將以2

為周期的函數(shù)展成Fourier級數(shù);(4)掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級數(shù)展開的特點(diǎn)，會將定義在某區(qū)間上的函數(shù)按要求展成正弦級數(shù)或余弦級數(shù);(5)能利用Fourier展開求一些簡單級數(shù)的和;(6)了解黎曼-勒貝格引理的內(nèi)容及它的一些簡單應(yīng)用。

十六 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

(1)掌握平面點(diǎn)集、鄰域、中心鄰域的表示法;(2)會判別一般平面點(diǎn)集是開集還是閉集，有界還是無界，是否是區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域，會寫出其邊界;(3)了解平面點(diǎn)集的矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理，理解它們與直線上有關(guān)定理相互關(guān)系;(4)掌握平面點(diǎn)列收斂的ε-N定義及柯西收斂原理;(5)理解二元函數(shù)的概念及幾何意義，并能推廣到多元函數(shù);會確定一般二元函數(shù)的定義域及連續(xù)范圍;(6)理解二元函數(shù)極限ε-N定義，會依定義證明不太復(fù)雜的二重極限;(7)掌握累次極限概念，能通過具體反例分析二重極限與累次極限的關(guān)系;(8)理解二元函數(shù)連續(xù)性及一致連續(xù)性的定義，會依定義討論連續(xù)性及有關(guān)的簡單命題，理解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

十七 多元函數(shù)微分學(xué)

(1)掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分的定義、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;(2)掌握可微的條件、復(fù)合函數(shù)的全微分、一階全微分形式不變性、高階偏導(dǎo)數(shù)、中值定理、Taylor公式;(3)理解可微性幾何意義及應(yīng)用、極值問題;(4)了解方向?qū)?shù)與梯度。

十八 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

(1)理解隱函數(shù)定理的有關(guān)概念，及隱函數(shù)存在的條件;(2)了解隱函數(shù)組，反函數(shù)組的有關(guān)概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件;(3)掌握隱函數(shù)的微分法在幾何方面的應(yīng)用，會把實(shí)際問題抽象為條件極值并予以解決。

十九 含參量積分

(1)理解含參變量常見積分作為參量的函數(shù)，掌握它的連續(xù)性、可微性和可積性的條件，并能應(yīng)用這些條件討論一些含參量常見積分的有關(guān)性質(zhì);(2)理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會從定義或Cauchy收斂原理出發(fā)證明積分的一致收斂性或非一致收斂性;(3)掌握和利用M-判別法、Dirichlet判別法、Abel判別法，判別一些常見積分的一致收斂性;(4)掌握含參量廣義積分的分析性質(zhì)：連續(xù)性、可微性、可積性;(5)掌握Euler積分的定義、性質(zhì)、遞推公式及它們之間的關(guān)系，并用于計(jì)算積分。

二十 曲線積分

(1)掌握第一型曲線積分的定義、第一型曲線積分的計(jì)算、第二型曲線積分的定義、第二型曲線積分的計(jì)算;(2)了解第一型曲線積分的意義、第二型 曲線積分的意義、兩類曲線積分的關(guān)系。

二十一 重積分

(1)掌握將重積分化為累次積分的計(jì)算方法，并會交換積分順序;(2)掌握二重積分的極坐標(biāo)變換，三重積分的柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、廣義球坐標(biāo)變換，掌握一些簡單的一般變換，以達(dá)到簡化重積分計(jì)算的目的;(3)能正確地使用對稱性;正確地處理被積函數(shù)中含有絕對值符號及一般分段函數(shù)的重積分計(jì)算;(4)能用重積分計(jì)算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。(5)了解

重積分。

二十二 曲面積分

(1)掌握第一型曲面積分的概念、幾何意義和計(jì)算;(2)理解曲面的側(cè)，熟練掌握第二型曲面積分的定義、物理意義和計(jì)算，了解兩類曲面積分的聯(lián)系(3)掌握Gauss公式與Stokes公式;(4)了解場論初步。