課程編號(hào)：692 課程名稱：數(shù)學(xué)分析

一、考試的總體要求

《數(shù)學(xué)分析》是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，由分析基礎(chǔ)、一元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)等部分組成。要求考生系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法，并具有抽象思維能力、邏輯推理能力、計(jì)算論證能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、考試的內(nèi)容

1. 分析基礎(chǔ)

(1) 實(shí)數(shù)理論

要求 了解實(shí)數(shù)公理；理解上確界和下確界的意義；掌握絕對(duì)值不等式及平均值不等式；掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性等特殊性質(zhì)。

(2) 數(shù)列極限

掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念，理解無(wú)窮大（?。┝康母拍罴盎拘再|(zhì)；

掌握極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）及四則運(yùn)算性質(zhì)、單調(diào)有界收斂定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則、迫斂性（兩邊夾、夾擠）原理、兩個(gè)重要極限；數(shù)列極限的概念與性質(zhì)，單調(diào)有界定理與柯西收斂原理

(3) 函數(shù)極限

函數(shù)極限的概念與性質(zhì)，柯西收斂原理，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量

(4) 函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)的概念與性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性、最值性、介值性（零點(diǎn)定理）、一致連續(xù)性。

(5) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

2. 一元函數(shù)微分學(xué)

(1) 導(dǎo)數(shù)和微分

理解可導(dǎo)與可微、可導(dǎo)與連續(xù)的概念及其相互關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解函數(shù)極值點(diǎn)與極值、凸性、拐點(diǎn)等概念；

掌握（高階）導(dǎo)數(shù)、微分的四則運(yùn)算與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算法則；掌握左、右導(dǎo)數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導(dǎo)方法，掌握導(dǎo)函數(shù)的介值定理；

會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值性，會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)。

(2) 微分中值定理

掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限（洛必達(dá)法則）等方面的應(yīng)用；

掌握泰勒公式及其在極限、極值點(diǎn)判定等方面的應(yīng)用；

掌握極值與最值的求法、凸的等價(jià)定義、以及凸性在不等式等方面的應(yīng)用。

3．實(shí)數(shù)的完備性

區(qū)間套、聚點(diǎn)、開覆蓋的概念。

（1）理解聚點(diǎn)概念及其刻畫，理解區(qū)間套、開覆蓋等概念；

（2）理解關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六大基本定理及其證明思想；

（3）會(huì)用實(shí)數(shù)完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性（零點(diǎn)定理）、一致連續(xù)性。

4. 一元積分學(xué)

(1) 不定積分

掌握原函數(shù)、不定積分的概念及其基本性質(zhì)；

熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法，會(huì)求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的積分。

(2) 定積分

定積分的概念與性質(zhì)，可積條件，牛頓---萊布尼茨公式，換元法與分部積分法，積分中值定理，微積分基本定理

掌握定積分的概念、可積條件、可積函數(shù)類；

掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理；掌握變上限積分的性質(zhì)。

(3) 定積分的應(yīng)用

能用定積分計(jì)算平面圖形的面積、弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積以及一些物理量的計(jì)算。

(4) 反常積分

反常積分的概念與性質(zhì)，收斂判別法。

要求理解反常積分收斂的概念、Cauchy收斂準(zhǔn)則，掌握反常積分收斂性的比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。

5. 級(jí)數(shù)

(1) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

正項(xiàng)級(jí)數(shù)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，一般項(xiàng)級(jí)數(shù)，要求熟練掌握級(jí)數(shù)收斂性的判別法

(2) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

要求會(huì)求收斂半徑，收斂域，判斷一致收斂性，熟練掌握一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)

(3) 冪級(jí)數(shù)

要求掌握冪級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)，會(huì)求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

(4) 傅立葉級(jí)數(shù)

掌握周期函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的展開與收斂性的判別。

6. 多元微分學(xué)

(1) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

可微性，偏導(dǎo)數(shù)，高階偏導(dǎo)數(shù)，鏈?zhǔn)椒▌t，方向?qū)?shù)與梯度

(2) 多元微分學(xué)的應(yīng)用

中值定理，泰勒公式，極值與條件極值，隱函數(shù)定理及應(yīng)用

(3) 含參變量的積分

7. 多元積分學(xué)

(1) 重積分

二重積分的定義，計(jì)算與變量替換，三重積分的定義，計(jì)算與變 量替換

（2）曲線積分

第一型曲線積分，第二型曲線積分，格林公式

（3）曲面積分

曲面的面積，第一型曲面積分，第二型曲面積分，高斯公式，斯托克斯公式

三、考試的題型：

判斷題、填空題、計(jì)算題、證明題、綜合分析題等。

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