中國地質大學研究生院碩士研究生入學考試《高等數學》考試大綱

(包括高等數學、線性代數初步兩部分)

一、試卷結構

（一）內容比例

高等數學 約85%

線性代數初步 約15%

（二）題型比例

填空題與選擇題 約30%

解答題（包括證明題） 約70%

二、其他

考試時間為180分鐘，總分為150分。

高 等 數 學

一、函數、極限、連續(xù)

考試內容 函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 反函數、復合函數和隱函數 基本初等函數的性質及其圖形 初等函數 簡單應用問題的函數關系的建立 數列極限與函數極限的定義以及它們的性質 函數的左、右極限 無窮小 無窮大 無窮小的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限：

函數連續(xù)的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(最大值、最小值定理和介值定理)。 考試要求 1. 理解函數的概念 會作函數符號運算并會建立簡單應用問題中的函數關系式。 2. 了解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。 3. 理解復合函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。 4. 掌握基本初等函數的性質及圖形。

5. 理解極限的概念，理解函數的左、右極限概念及函數極限存在與左、右極限之間的關系。

6. 掌握極限的性質及四則運算法則。

7. 理解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握用兩個重要極限求極限的方法。 8. 理解無窮小、無窮大以及無窮小的階的概念，會用等價無窮小求極限。

9. 理解函數連續(xù)性的概念，會判別函數間斷點的類型。

10. 了解初等函數的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(最大值、最小值定理和介值定理)，并會應用這些性質。

二、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念 導數的幾何意義和物理意義 函數的可導性與連續(xù)性之間的關系 平面曲線的切線和法線及其方程 基本初等函數的導數 導數和微分的四則運算 反函數、復合函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法 高階導數的概念 某些簡單函數的n介導數 一階微分形式的不變性 微分在近似計算中的應用 羅爾（Rolle）定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 泰勒（Taylor）定理 洛必達（L′Hospital）法則 函數的極值及其求法 函數增減性和函數圖形凹凸性的判定 函數圖形的拐點及其求法 漸近線 描繪函數的圖形 函數最大值和最小值的求法及其簡單應用 弧微分 曲率的概念及計算 曲率半徑 方程近似解的二分法和切線法

考試要求

1. 理解導數和微分的概念。理解導數的幾何意義并會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量。理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。

2. 掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，以及微分在近似計算中的應用。

3. 了解高階導數的概念，掌握初等函數的求導方法，會求分段函數的一階、二階導數，并會求一些簡單的函數的n階導數。

4. 會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數，會求反函數的導數。

5. 理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，并會運用它們解決一些簡單問題。

6. 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷的單調性和求函數極值的方法，會求函數的最大值、最小值及其簡單應用。

7. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點，會求水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。

8. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

9. 了解曲率和曲率半徑的概念并會計算曲率和曲率半徑。

10. 了解求方程近似解的二分法和切線法。

三、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和性質 積分中值定理 變上限定積分及其導數 牛頓—萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 廣義積分的概念及計算 定積分的近似計算法 定積分的應用

考試要求

1. 理解原函數概念，理解不定積分和定積分的概念。理解定積分中值定理。

2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及換元積分法與分部積分法。

3. 會求有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分。

4. 理解變上限定積分作為其上限的函數及其求導定理，掌握牛頓—萊布尼茲公式。

5. 了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。

6. 了解定積分的近似計算法。

7. 掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力和函數平均值等）。

四、向量代數和空間解析幾何

考試內容

向量的概念 向量的線性運算 向量的數量積和向量積的概念及運算 向量的混合積 兩向量垂直和平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標表達式及其運算 單位向量 方向數與方向余弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程、直線方程及其求法 平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角 占到平面和點到直線的距離

球面 母線平行于坐標軸的柱面 旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的參數方程和一般方程 空間曲線在坐標面上的投影曲線方程

考試要求

1. 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

2. 掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3. 掌握單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算的方法。

4. 掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。

5. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲線的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

6. 了解空間曲線的參數方程和一般方程。

7. 了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。

五、多元函數微積分學

考試內容

多元函數的概念 二元函數的幾何意義 二元函數的極限與連續(xù)性 有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質（最大值和最小值定理） 偏導數及全微分的概念與計算 多元復合函數的求導法 隱函數求導法 高階偏導數 方向導數與梯度 空間曲線的切線與法平面 空間曲面的切平面與法線 多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值 二重積分的概念、基本性質和計算 二重積分的應用

考試要求

1. 了解多元函數的概念，了解二元函數的表示法與幾何意義。

2. 了解二元函數的極限與連續(xù)的直觀意義。

3. 了解多元函數偏導數與全微分的概念，掌握求復合函數偏導數和全微分的方法，會用隱函數的求導法則。

4. 了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，會求解一些簡單的應用題。

5. 了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法，會用二重積分計算一些幾何量與物理量（面積、體積、質量、重心、轉動慣量，引力）。

六、無窮級數

考試內容

常數項級數收斂與發(fā)散的概念 收斂級數的和的概念 級數的基本性質與收斂的必要條件 幾何級數與p級數的收斂性 正項級數收斂性的判別 任意項級數的絕對收斂與條件收斂 交錯級數 萊布尼茲定理 冪級數的概念 收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域 冪級數的和函數 冪級數在收斂區(qū)間內的基本性質 簡單冪級數的和函數的求法 初等函數的冪級數展開式

考試要求

1. 了解級數的收斂與發(fā)散、收斂級數的和等概念。

2. 掌握級數收斂的必要條件及收斂級數的基本性質，掌握幾何級數及p級數的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數的比較判別法和達朗貝爾（比值）判別法。

3. 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，掌握交錯級數的萊布尼茲判別法，掌握絕對收斂與條件收斂的判別方法。

4. 會求冪級數的收斂半徑和收斂域。

5. 了解冪級數的收斂區(qū)間內的基本性質(和函數的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分)，會求一些簡單冪級數的和函數。

6. 掌握ex，sinx，cosx，ln（1+x）與（1+x）a等冪級數展開式，并會利用這些展開式將一些簡單函數間接展成冪級數。

七、常微分方程

考試內容

常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始條件和特解 變量可分離的方程 齊次方程 一階線性微分方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常系數齊次線性微分方程 高于二階的某些常系數齊次線性微分方程 簡單的二階常系數非齊次線性微分方程 微分方程的一些簡單應用

考試要求

1. 了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法，會解齊次方程。

3. 會用降階法解下列方程：y (n) = f（x），y＂= f（x，y′），y＂= f（y，y′）。

4. 理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理。

5. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

6. 會求自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。

7. 會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

線性代數初步

一、行列式

考試內容 行列式的定義、性質及計算 考試要求 1. 了解行列式的定義、性質。 2. 掌握二階、三階行列式的計算法，會計算簡單的n階行列式。

二、矩陣

考試內容 矩陣的概念 單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣和對稱矩陣以及它們的性質 矩陣的線性運算 矩陣的乘法 矩陣的轉置 逆矩陣的概念 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 矩陣等價 矩陣的秩 初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法

考試要求

1. 了解矩陣的概念。

2. 了解單位矩陣、對角矩陣、對稱矩陣和三角矩陣以及它們的性質。

3. 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律。

4. 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，了解矩陣可逆的充分必要條件，了解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

5. 理解矩陣的秩的概念。

6. 掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

三、線性方程組

考試內容

向量的概念 向量組的線性相關與線性無關 向量組的極大線性無關組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關系 線性方程組的克萊姆（Cramer）法則 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次方程組有解的充分必要條件 線性方程組解的性質和解的結構 齊次線性方程組的基礎解系和通解 非齊次線性方程組的通解 行初等變換求解線性方程組的方法

考試要求

1. 了解n維向量的概念。

2. 了解向量組線性相關、線性無關的定義。

3. 了解有關向量組線性相關、線性無關的基本性質。

4. 了解向量組的極大線性無關組與向量的秩的概念。

5. 了解克萊姆法則。

6. 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

7. 理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念。

8. 理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念。

9. 會用行初等變換求線性方程組的通解。

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