附件：碩士生入學(xué)考試學(xué)校自命題科目復(fù)試大綱

（常微分方程）復(fù)試大綱

一、考試目的

《常微分方程》是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生入學(xué)復(fù)試的專業(yè)課程，其目的是測試考生對該課程的掌握情況。

二、考試的性質(zhì)與范圍

本考試是一種測試考生綜合運用常微分方程知識點的水平考試。考試的范圍包括常微分方程的基本概念、基本解法、基本技巧和基本理論?？疾鞂W(xué)生對要求掌握的知識點的掌握情況。

二、考試基本要求

掌握常微分方程的基本解法、基本技巧及基本理論。

四、考試形式

閉卷考試。

五、考試內(nèi)容（或知識點）

1．一階方程的初等解法

1）變量分離方程的解法2）線性方程的解法3）恰當方程4）積分因子5）一階隱式方程的解法。

2．一階方程的解的存在定理

1）存在唯一定理的條件與結(jié)論 2）證明方法與步驟 3）解的延拓 4）奇解。

3．高階方程

1）線性方程的一般理論 2）常系數(shù)方程的解法 3）高階方程的降階

4．線性方程組

1）線性方程組的一般理論 2）常系數(shù)線性方程組的解法

5．定理理論初步

1）平面常系數(shù)線性系統(tǒng)的奇點類型2）平面非線性系統(tǒng)的線性近似3）極限環(huán)

六、考試題型

求方程的解，畫奇點附近的相圖，證明題。

七、參考書目：本科通用教材

碩士生入學(xué)考試學(xué)校自命題科目考試大綱模板

（945+復(fù)變函數(shù)）考試大綱

一、考試目的：

《復(fù)變函數(shù)》作為全日制數(shù)學(xué)碩士專業(yè)學(xué)位入學(xué)考試，其目的是考察考生是否具備進行數(shù)學(xué)碩士專業(yè)學(xué)習所要求的數(shù)學(xué)水平。

二、考試性質(zhì)與范圍：

本考試是一種測試應(yīng)試者復(fù)變函數(shù)知識和應(yīng)用能力的尺度參照性水平考試?？荚嚪秶◤?fù)變函數(shù)的一些基本概念、基本理論、基本方法，以及應(yīng)用這些概念與方法解決實際問題的基本技能。

三、考試基本要求

1.掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論，主要內(nèi)容是：復(fù)數(shù)、解析函數(shù)、單復(fù)變函數(shù)的微分、積分、級數(shù)、留數(shù)和共形映射。

2.掌握復(fù)變函數(shù)的基本運算，如求復(fù)積分，解析函數(shù)的級數(shù)展開，奇點的判定，留數(shù)定理的應(yīng)用，簡單區(qū)域共形映射的作法等。

四、考試形式

本考試采取閉卷筆試的方法。主要題型為解答題。

五、考試內(nèi)容：

第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

掌握并熟悉復(fù)平面的基礎(chǔ)知識和復(fù)函數(shù)的概念，掌握區(qū)域和復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運算，了解復(fù)球面的建立與球極投影，和復(fù)變函數(shù)的定義與二元實函數(shù)的關(guān)系。

考核要求：

1、復(fù)數(shù): 復(fù)數(shù)的各種運算、表示法和三角不等式;2、復(fù)平面上點集:平面點集的幾個基本概念;區(qū)域、約當曲線;3、復(fù)變函數(shù):復(fù)極限、復(fù)連續(xù);4、復(fù)球面和無窮遠點:無窮遠點

第二章 解析函數(shù)

理解復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的概念，弄清這兩個概念之間的關(guān)系。熟練掌握解析函數(shù)的C－R條件，能運用C－R條件判定函數(shù)的解析性。熟練掌握和運用解析函數(shù)的求導(dǎo)與求導(dǎo)公式。熟練掌握指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的定義和基本性質(zhì)以及簡單映射性質(zhì)。并會運用歐拉公式和復(fù)數(shù)的指數(shù)表示。

考核要求：

1、解析函數(shù)的概念與C－R條件

1.1 復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析;1.2 解析函數(shù)的C－R條件

2、初等解析函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)

3、初等多值函數(shù)：各初等多值函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

第三章 復(fù)變函數(shù)的積分

掌握復(fù)變函數(shù)沿一條逐段光滑曲線積分的定義，基本性質(zhì)和計算方法。熟練掌握柯西積分定理并能證明。理解解析函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)的不定積分概念。熟練掌握和運用柯西積公式與高階導(dǎo)數(shù)公式。掌握柯西不等式、劉維爾定理、最大模原理，莫勒拉定理。

考核要求：

1、復(fù)積分的概念性質(zhì);2、Cauchy積分定理;3、Cauchy積分公式及推論;

3.1 柯西積公式與高階導(dǎo)數(shù)公式

3.2 劉維爾定理（領(lǐng)會）

4、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

4.1解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

第四章 級數(shù)

理解復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本概念，掌握一致收斂性的判別法。掌握冪級數(shù)的基本性質(zhì)和求收斂半徑的公式，理解冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的內(nèi)閉一致收斂性與所定義函數(shù)的分析性質(zhì)。記住exp（z）,

Ln (1+z), sinz, cosz 和 (1+z)^a

的冪級數(shù)展開式，并能熟練的運用。掌握解析函數(shù)零點的孤立性定理和解析函數(shù)唯一性定理。理解羅郎級數(shù)的概念，會求出一些簡單的羅郎級數(shù)的展開式及收斂域。掌握解析函數(shù)孤立奇點的三種類型及其特征與性質(zhì)及在無窮遠點的性質(zhì)。

考核要求：

1、復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)

2、冪級數(shù)

3、解析函數(shù)的零點，唯一性定理

4. 解析函數(shù)的羅朗展式

5 解析函數(shù)的孤立奇點

6. 解析函數(shù)的無窮遠點的性質(zhì)

第五章 留數(shù)

留數(shù)的定義及計算方法，無窮遠點的留數(shù)。留數(shù)定理。利用留數(shù)定理計算實積分。輻角原理，Ruché(儒歇)定理及其應(yīng)用.

考核要求：

1、掌握留數(shù)的定義、留數(shù)定理及留數(shù)的計算方法

2、了解利用留數(shù)定理計算實積分的一般方法，并能計算常見的三種類型的實積分

第六章 保形映照

理解導(dǎo)數(shù)的模與輻角的幾何意義和保形映射概念。熟練的掌握ez, Inz,zn以及儒可夫斯基函數(shù)的映射性質(zhì)。熟練掌握分式線性映射的基本性質(zhì)。能將一些較簡單的單連通區(qū)域變換成單位圓或上半平面。了解黎曼映射定理和邊界對應(yīng)定理。

考核要求：

1、expz、Ln z、 z^n以及儒可夫斯基函數(shù)的映射性質(zhì)。

2、掌握分式線性映射的基本性質(zhì)。

3、會綜合應(yīng)用分式線性函數(shù)、ez、 zn及儒可夫斯基函數(shù)作一些較簡單的單連通區(qū)域間的變換。

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