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注重基礎(chǔ)與能力突出方法和思想

——2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)試題簡評

成都樹德中學(xué)特級教師李勇

2015年高考數(shù)學(xué)試卷，遵循《考試大綱》及《考試說明（四川版）》要求，與近年來試題風(fēng)格一致，切合當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)實際，體現(xiàn)課程改革理念，符合高考考試性質(zhì)，在平穩(wěn)推進(jìn)的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新。試題設(shè)計立足于學(xué)科核心和主干，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，深化能力立意，強(qiáng)化知識交匯，重點(diǎn)考查支撐數(shù)學(xué)學(xué)科體系的內(nèi)容，充分考查基礎(chǔ)知識、基本方法、基本思想，深入考查考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力、空間想象能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，突出考查數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想方法，合理考查學(xué)生的探究意識和學(xué)習(xí)潛能。

全卷難度設(shè)置符合高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，重視教材考基礎(chǔ)，突出思維考能力，體現(xiàn)課改考探究，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性、應(yīng)用性和創(chuàng)造性，突出試題的基礎(chǔ)性、綜合性、原創(chuàng)性和選拔性，試卷布局合理、層次分明，問題設(shè)計科學(xué)、表述規(guī)范，有利于準(zhǔn)確測試不同層次考生的學(xué)習(xí)水平。

一、重視教材與基礎(chǔ)，突出核心內(nèi)容

試題高度重視教材價值的挖掘與聯(lián)系，有的題目直接由教材的例題或習(xí)題改編，有的問題產(chǎn)生于教材背景。文理科1-8、11-13、6-19等題源于教材，又高于教材，充分發(fā)揮了教材在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)等方面的價值。這種立足于教材編擬高考試題的理念和方法，充分保障了試題背景的公平性，能夠有效引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重視教材、深刻理解教材，對進(jìn)一步推進(jìn)課程改革、減輕學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)具有良好的導(dǎo)向作用。

全卷重視基礎(chǔ)知識的全面考查，覆蓋了整個高中數(shù)學(xué)的所有知識板塊；試題設(shè)計立足于高中數(shù)學(xué)的核心和主干，對高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、概率統(tǒng)計、解析幾何、立體幾何、數(shù)列、向量、不等式等進(jìn)行了重點(diǎn)考查。理科4、8、9、13、15、21，文科4、5、8、15、21等題，全面考查函數(shù)概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；理科5、10、20，文科7、10、20等題，考查直線、圓、圓錐曲線的方程及其簡單應(yīng)用，是解析幾何的基礎(chǔ)和主體內(nèi)容；理科14、18題考查空間線面關(guān)系和面面夾角的計算，文科14、18題考查空間線面關(guān)系、三視圖和體積的計算；理科17題，文科3、17題，考查概率統(tǒng)計相關(guān)知識；文理科16題，考查數(shù)列相關(guān)知識；文科3題考查分層抽樣的概念，需要考生認(rèn)識其本質(zhì)屬性；理科14題考查空間線線角的計算，如果概念不清，即使運(yùn)算無誤也不能獲得正確結(jié)果。這樣的內(nèi)容設(shè)計，在全面考查基礎(chǔ)的同時，突出考查支撐學(xué)科體系的的內(nèi)容，重視對基礎(chǔ)知識和通性通法的考查，對高中畢業(yè)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和素養(yǎng)進(jìn)行重點(diǎn)測試，保證了試卷的內(nèi)容效度，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重視基礎(chǔ)、強(qiáng)化核心內(nèi)容和主干知識、回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、注重能力與方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維

試卷以能力立意設(shè)計試題，多角度、多層次地考查了運(yùn)算求解能力、推理論證能力、空間想象能力、抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。在此基礎(chǔ)上，特別突出了對數(shù)學(xué)思維的全面、深刻考查，大量題目充分考查了觀察、聯(lián)想、類比、猜想、估算等數(shù)學(xué)思維方法與能力，對函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了全面考查。理科15、16、21題，文科15、21題，既考查了幾何直觀、聯(lián)想、猜想、估算等直覺思維，又要求考生進(jìn)行精確計算、嚴(yán)密推理；理科13、17題，文科8、17題，考查了運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識；文理科15題，考查了直覺猜想、抽象概括、推理論證和創(chuàng)新意識，對數(shù)學(xué)思維進(jìn)行了全面考查，其特點(diǎn)是運(yùn)算量小、思維量大；文理科16-21等題重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力；文理科20、21題，要求考生具備高水平的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)探究意識和創(chuàng)新意識，考查了多種數(shù)學(xué)思想與方法。

全卷注重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念、重要定理等的理解與應(yīng)用，注意控制和減少繁瑣的運(yùn)算。理科7、9、10、14、15、20、21題，文科7、9、10、14、15、21等題，如果靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想，就可簡化解題過程、避免繁瑣運(yùn)算；文理科15題，雖然思維要求高，但在深刻理解問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想解答，并不需要特殊技巧與復(fù)雜運(yùn)算。這類問題背景深刻、構(gòu)思巧妙、取材適當(dāng)、設(shè)問合理、切合實際，側(cè)重考查考生對知識的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、探究性、綜合性和應(yīng)用性的考查，能夠有效檢測考生將知識、方法遷移到不同情境的能力，從而檢測考生的思維廣度、深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能。

三、關(guān)注探究與創(chuàng)新，體現(xiàn)課改理念

試卷從學(xué)科整體和思維價值的高度設(shè)置問題情境，注重知識間的內(nèi)在聯(lián)系與交匯；通過適當(dāng)增強(qiáng)試題的綜合性，分層次設(shè)置試題難度，能更好地體現(xiàn)考試的選拔功能。理科9題涉及函數(shù)單調(diào)性、線性規(guī)劃與基本不等式，文理科10題聯(lián)系拋物線、圓、圓的切線和數(shù)形結(jié)合思想，具有較強(qiáng)的綜合性和一定的難度；理科19題綜合三角恒等變換與解三角形，立意鮮明、情境新穎、形式優(yōu)美，考查考生思維的靈活性；文理科21題，以對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)、不等式等知識為載體，考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的能力。這樣的試題對數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性都有較高要求，具有一定的難度，解答這些問題，需要具有較強(qiáng)的分析問題、探究問題和解決問題的能力。

試題設(shè)計緊密結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，通過對探究意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查，充分體現(xiàn)了課程改革理念。文理科10、15、20、21等題考查了探究意識，考生需要深入分析問題情境，從特殊到一般、從直觀到抽象進(jìn)行不同側(cè)面的探究，并合理運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法和思想才能準(zhǔn)確、迅速解答。理科20題要求考生探究定點(diǎn)是否存在，若假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)直接求解則有不少運(yùn)算障礙；若通過特殊情形的解決，尋求一般的、運(yùn)動變化的問題的解決思路和方法，對具體的對象進(jìn)行抽象概括，完成解答則相對簡單。這樣的問題設(shè)計，針對考生的探究意識和創(chuàng)新意識進(jìn)行考查，保障了試題對較高學(xué)習(xí)水平層次考生的良好區(qū)分。理科13、17，文科8、17等題以考生熟悉的現(xiàn)實生活背景考查考生提煉數(shù)量關(guān)系、將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并構(gòu)造數(shù)學(xué)模型加以解決的能力，體現(xiàn)了應(yīng)用意識和實踐能力的考查特點(diǎn)。文理21題展示了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求考生具有高層次的理性思維，考生解答時可以采用“聯(lián)系幾何直觀—探索解題思路—提出合情猜想—構(gòu)造輔助函數(shù)—結(jié)合估算精算—進(jìn)行推理證明”的思路，整個解答過程與數(shù)學(xué)研究的過程基本一致，能較好地促進(jìn)考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中掌握數(shù)學(xué)知識、探究數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。這些試題具有立意深遠(yuǎn)、背景深刻、設(shè)問巧妙等特點(diǎn)，富含思維價值，體現(xiàn)了課程改革理念，是檢測考生理性思維廣度、深度和學(xué)習(xí)潛能的良好素材。這樣的設(shè)計，對考生評價合理、科學(xué)，鼓勵積極、主動、探究式的學(xué)習(xí)，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重提高學(xué)生的思維能力、發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，對全面深化課程改革、提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有十分積極的作用。

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