(科目：051實變函數、復變函數)

第一部分 考試說明

本《實變函數、復變函數》考試大綱適用于貴州師范大學數學與計算機科學學院基礎數學專業(yè)碩士研究生復試考試。實變函數、復變函數是大學數學系數學專業(yè)本科學生的主要專業(yè)課程之一。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

1考試目的

《實變函數、復變函數》是我校數學與計算機科學學院招收全日制碩士研究生而設置的具有選拔性質的復試考試科目，其目的是考察學生是否具備本學科碩士研究生學習所要求的水平，為我校數學與計算機科學學院擇優(yōu)選拔碩士研究生提供依據。

2考試的基本要求

1）要求考生比較系統(tǒng)地理解實變函數與復變函數的基本概念和基本理論；2）掌握實變函數與復變函數的基本思想和方法；3）要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

3考試形式和試卷結構

1）答卷方式：閉卷，筆試。

2）答題時間：120分鐘。

3）試卷成績：100分。

4）各部分的考查比例：

實變函數 約50%

復變函數 約50%

5）題型：計算、證明

6）參考書目

[1] 周民強編《實變函數》，北京大學出版社，2008年第2版 .

[2]程其襄等編《實變函數與泛函分析基礎》，高等教育出版社，2003年第2版 .

[3] 鐘玉泉編《復變函數論》，高等教育出版社， 2004年第3版.

第二部分 考查內容（或知識點）

1 實變函數

（1）集合

映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質；對等及其性質；基數與基數的比較，伯恩斯坦定理；可數集的定義及等價條件，可列集及其性質；上限集、下限集的定義及判斷證明。

（2）點集

鄰域、內點、聚點、開集、閉集等基本概念；開集、閉集的性質；Bolzano-Weierstarss 定理，Borel 有限覆蓋定理；直線上開集的構造；Cantor 集的構造及其性質。

（3）測度論

勒貝格外測度的定義及主要性質；勒貝格可測集的定義及其運算；勒貝格測度的可列可加性以及單調可測集列極限的測度；勒貝格可測集與開集、閉集、 型集與 型集之間的關系。

（4）可測函數

點集上的連續(xù)函數、函數列的上極限與下極限、“幾乎處處”等

概念；可測函數的定義及其在代數運算與極限運算下的封閉性；可測函數可表為簡單函數列的極限；可測函數列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測度收斂的概念及它們之間的相互關系；葉果洛夫定理、黎斯定理、魯金定理。

（5）積分論

黎曼積分定義，達布定理；勒貝格積分的定義及其性質，勒貝格積分與黎曼積分的關系；勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項積分定理、列維定理、法都引理和富比尼定理。

2 復變函數

（1）復數與復變函數

復數的幾種表示法，復數的運算及其三角不等式的應用；復平面，復平面的點集，區(qū)域；復變函數的概念及其性質。

（2）解析函數

復變函數可導與解析的概念，解析函數的C-R 條件及C-R 條件的應用；指數函數，對數函數，對數函數的分支和導數，對數函數的一些性質，復指數，三角函數，雙曲函數，反三角函數和雙曲函數。

（3）復變函數的積分

復積分的概念及其基本性質；柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導數公式，及其他們的作用；劉維爾定理、莫勒拉定理和代數基本定理；函數積分的計算。

（4）復變函數的級數

復數序列的收斂，復級數的收斂，泰勒級數，羅朗級數，復冪級數的絕對一致收斂；復冪級數和函數的連續(xù)性，冪級數的積分和微分，唯一性定理，冪級數的乘法和除法運算；函數展成羅朗級數的方法。

（5）留數和奇點

留數的概念，柯西的留數基本定理，孤立奇點的三種類型；極點的留數，解析函數的零點，零點與極點，孤立點附近的函數的屬性；留數的應用，留數在計算某些實積分中的應用，輻角定理及儒歇定理。

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