學(xué)院：理學(xué)院

加試科目：實(shí)變函數(shù)

一、集合

考查內(nèi)容

1.集合及其運(yùn)算。

2.集合的勢。

3.n維空間中的點(diǎn)集。

考查要求

1.熟練掌握集合的并、交、差(補(bǔ))運(yùn)算和對偶原理;掌握上極限、下極限的定義及其等價表述。

2.掌握映射、對等、集合勢等概念，會用Bernstein 定理討論集合的勢，會比較集合勢的大小。

3.掌握可數(shù)集概念與性質(zhì)，會證[0,1]點(diǎn)集不可數(shù)，掌握具有連續(xù)勢的集，冪集及其勢。

4. 掌握聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、導(dǎo)集、閉包、開集、閉集、完備集的概念與相關(guān)性質(zhì)。

5. 了解直線上開、閉集及完備集的構(gòu)造，了解Cantor集。

二、測度論

考查內(nèi)容

1.外測度與可測集。

2.Lebesgue可測集的結(jié)構(gòu)。

考查要求

1.理解掌握(L) 外測度概念與性質(zhì)，知道可列集的測度為零，區(qū)間的測度等于其體積。

2.理解可測集的 Caratheodory 條件，可測集的概念與性質(zhì)。

3.了解 型集、 型集以及波雷爾集的定義，掌握可測集類、可測集與開集、閉集的關(guān)系及可側(cè)集結(jié)構(gòu);了解當(dāng) 時， 中必有不可測集存在。

三、可測函數(shù)

考查內(nèi)容

1.可測函數(shù)的定義及其性質(zhì)。

2.可測函數(shù)的逼近定理。

考查要求

1.掌握可測函數(shù)概念及等價表述，掌握可測函數(shù)對代數(shù)、極限運(yùn)算封閉等重要性質(zhì);

掌握命題在點(diǎn)集幾乎處處成立概念;掌握簡單函數(shù)及函數(shù)在點(diǎn)集連續(xù)的概念。

2.掌握可測函數(shù)列幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系;掌握Egoroff 定理。

3.掌握可測函數(shù)結(jié)構(gòu)，Lusin 定理。

4.掌握依測度收斂、幾乎處處收斂及(基本)一致收斂三者的關(guān)系。

四、Lebesgue積分

考查內(nèi)容

1.可測函數(shù)的積分。

2.Lebesgue積分的極限定理。

3.Fubini定理。

考查要求

1.理解簡單函數(shù)的Lebesgue積分、一般可測函數(shù)的Lebesgue積分及無界集上的Lebesgue積分的概念。

2.掌握Lebesgue積分的基本性質(zhì)并會應(yīng)用基本性質(zhì)計(jì)算。

3.理解Lebesgue積分的三大定理(Levi定理、Fatou引理及Lebesgue控制收斂定理)，會應(yīng)用Lebesgue積分的三大定理證明和計(jì)算。

4.理解Lebesgue積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系。

5.了解(L)積分的幾何意義，會陳述并應(yīng)用重積分化累次積分的Fubini 定理。

6.掌握絕對連續(xù)函數(shù)概念;(L)不定積分與絕對連續(xù)函數(shù)的關(guān)系;Newton-Leibniz公式成立的充要條件。

參考書目：(選擇其一)

1.《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，曹廣福編，第三版(上冊)，高等教育出版社，2011;

2.《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，夏道行等編，第二版，高等教育出版社，2009;

3.《實(shí)變函數(shù)論》，江澤堅(jiān)編，第二版，高等教育出版社，2001;