一步倒推思路

順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時(shí)，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡(jiǎn)明實(shí)用。

例1 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份?

分析(用一步倒推思路考慮)：

(1)逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件?

因?yàn)橛幸恢豢裳b3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3+2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個(gè)2千克水。

(2)按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克;第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時(shí)10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時(shí)7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克;第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時(shí)10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時(shí)7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克;第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里(原有1千克水)，只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因?yàn)樵?千克水，這時(shí)也正好是5千克水了。

其思路可用下圖(圖2.6和圖2.7)表示：

問題：

例2 今有長(zhǎng)度分別為1、2、3……9厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形?

分析(仍可用一步倒推思路來考慮)：

(1)逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么?

根據(jù)題意，必須知道兩個(gè)條件。一是確定正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度范圍，二是每一種邊長(zhǎng)有幾種組成方法。

(2)從條件順推。

①因?yàn)榫艞l線段的長(zhǎng)度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度范圍為(1+2+……

②當(dāng)邊長(zhǎng)為7厘米時(shí)，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。

③當(dāng)邊長(zhǎng)為8厘米時(shí)，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。

④當(dāng)邊長(zhǎng)為9厘米時(shí)，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9;1+8、2+7、4+5及9;2+7、3+6、4+5及9;1+8、3+6、4+5及9;1+8、2+7、3+6及4+5共5種組成方法。

⑤當(dāng)邊長(zhǎng)為10厘米時(shí)，各邊分別由1+9、2+8、3+7及4+6組成，也只有一種組成方法。

⑤當(dāng)邊長(zhǎng)為11厘米時(shí)，各邊分別由2+9、 3+8、4+7及5+6組成，也只有一種組成方法。

⑥將上述各種組成法相加，就是所求問題了。

此題的思路圖如下(圖2.8)：

問題：