科目代碼、名稱:861 高等代數(shù)

專業(yè)類別：■學(xué)術(shù)學(xué)位 □專業(yè)學(xué)位

適用專業(yè):數(shù) 學(xué)

一、基本內(nèi)容

1、多項(xiàng)式

本部分要求掌握一元多項(xiàng)式及其整除問(wèn)題、多項(xiàng)式函數(shù)、最大公因式、重因式和因式分解定理等有關(guān)概念和基本結(jié)論，能夠進(jìn)行多項(xiàng)式的有關(guān)計(jì)算和有關(guān)問(wèn)題的證明。

2、行列式

(1)定義與性質(zhì)

要求熟悉排列、逆序、對(duì)換等概念;理解行列式的定義;掌握行列式的性質(zhì)。

(2)計(jì)算與證明

較好掌握行列式的計(jì)算技巧和方法，能較熟練地計(jì)算行列式和證明有關(guān)行列式的結(jié)論。

3、向量的線性相關(guān)性與線性方程組

(1)n維向量空間

掌握n維向量空間的定義、向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)等概念并能證明有關(guān)結(jié)論。

(2)向量組的秩和矩陣的秩

掌握向量組的秩、矩陣的秩等有關(guān)概念，可利用矩陣秩的概念討論線性方程組的可解性，并能證明有關(guān)結(jié)論。

(3)線性方程組解的結(jié)構(gòu)

掌握線性方程組解的判定定理，會(huì)求有解的線性方程組的通解，熟練掌握線性方程組常用的解

法，并能證明有關(guān)結(jié)論。

4、矩陣

(1)矩陣的概念與運(yùn)算

熟練掌握矩陣的運(yùn)算法則，如矩陣的加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣取行列式等。熟悉矩陣與行列式的關(guān)系。會(huì)求矩陣的冪，會(huì)求解矩陣方程等。

(2)矩陣的逆、分塊矩陣

掌握可逆矩陣、奇異矩陣、非退化矩陣等概念。會(huì)計(jì)算方陣的伴隨矩陣，能計(jì)算可逆陣的逆矩陣。能利用分塊方法進(jìn)行矩陣運(yùn)算。能證明有關(guān)結(jié)論。

(3)初等矩陣與初等變換

掌握矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，明確二者關(guān)系。能熟練進(jìn)行矩陣的初等變換，能利用初等變換求解線性方程組，并能進(jìn)行有關(guān)證明。

(4) 相似矩陣與矩陣合同

熟悉相似矩陣與矩陣合同的概念，能求矩陣變換并能將矩陣對(duì)角化，能證明有關(guān)結(jié)論。

5、二次型

(1)基本概念與基本變換

掌握二次型、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、對(duì)稱矩陣等概念，明確彼此的關(guān)系?？蓪⒍涡突癁闃?biāo)準(zhǔn)型，可求與對(duì)稱矩陣合同的對(duì)角矩陣，可由已知對(duì)稱矩陣求二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型，并能證明有關(guān)結(jié)論。

(2)正定、負(fù)定二次型

掌握正定、負(fù)定二次型、半正定、半負(fù)定矩陣等概念及其判別方法，并能證明有關(guān)結(jié)論。

6、線性空間

(1)基本概念:

掌握線性空間、維數(shù)、基、坐標(biāo)、線性子空間及直和等概念，并能證明基本性質(zhì)。

(2)基變換與坐標(biāo)變換

掌握基變換與坐標(biāo)變換方法，熟悉并能證明有關(guān)結(jié)論。

7、線性變換

(1)定義、運(yùn)算與性質(zhì)

掌握線性變換的定義、運(yùn)算與性質(zhì)。熟悉可逆變換、逆變換，并能證明基本性質(zhì)。

(2)線性變換的矩陣

對(duì)線性空間的線性變換，明確其在給定基下的矩陣與該變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并能證明有關(guān)結(jié)論。

(3)特征值與特征向量

能熟練計(jì)算線性變換和方陣的特征值與相應(yīng)的特征向量，能夠應(yīng)用并能證明有關(guān)結(jié)論。

8、 矩陣

(1) 矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形

會(huì)求 矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形，會(huì)求 矩陣的初等因子、不變因子、行列式因子。

(2)矩陣的若兒當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形與有理標(biāo)準(zhǔn)形

會(huì)計(jì)算矩陣的若兒當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形與有理標(biāo)準(zhǔn)形，熟悉并能證明有關(guān)結(jié)論。

9、歐幾里得空間

掌握歐幾里得空間的定義與性質(zhì)，掌握內(nèi)積、正交性、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及有關(guān)計(jì)算方法，能證明有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論。

二、考試要求(包括考試時(shí)間、總分、考試方式、題型、分?jǐn)?shù)比例等)

考試時(shí)間：180分鐘

總 分：150分

考試方式：筆試，閉卷

題 型：填空題，計(jì)算與證明題

分?jǐn)?shù)比例：填空題(60分)占40%，計(jì)算與證明題(90分)占60%。

三、主要參考書(shū)目

1、《高等代數(shù)》(第三版)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組著， 高等教育出版社 2003 或之后版本

2、《高等代數(shù)(上下冊(cè))》(第二版)， 丘維聲著， 高等教育出版社， 1999 或之后版本