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公務(wù)員考試行測數(shù)學(xué)運算中，計數(shù)問題是一個常考考點，而這類問題也常出現(xiàn)困擾我們很多考生的難題。容斥問題看起來復(fù)雜多變，且題目中的等量關(guān)系常常也不是很容易找出來，所以，常常使得我們的考生朋友們在見到這類題目的時候會不知題目所云。

卓博教育專家針對容斥問題進行講解。容斥問題是解決集合與集合的交集問題的一類題目。而容斥問題的解題思路如它的名稱所言——先容后斥。

也就是在計算容斥問題時，先把滿足于某條件各個集合包含的對象的數(shù)目先以加和的形式計算出來，也就是“先容”的過程，然后再把計算時計重了的對象數(shù)目以減的形式排斥出去，這就是所謂的“后斥”。我們在計數(shù)時必須要想辦法保證全面而無重復(fù)，這也就是容斥原理的核心思想。

觀察近幾年的公務(wù)員考試行測真題，我們發(fā)現(xiàn)容斥問題題目條件比較容易出現(xiàn)錯綜復(fù)雜的情況，所以在解決容斥問題我們推薦考生朋友們學(xué)會借助圖形去解決，即文氏圖。

文氏圖是用封閉曲線內(nèi)部的區(qū)域來表示集合及其集合之間關(guān)系的圖形。

例如：

某個班有學(xué)生100人，在一次考試中，語文考試達到90分的有70人，數(shù)學(xué)考試達到90分的有75人。

(1)若該班每名學(xué)生在語文、數(shù)學(xué)兩科目中至少有一科達到90分以上，求兩科都達到90分以上的有多少人?

(2)若不知該班各個個體考得如何，求兩科達到90分以上的最多有多少人?最少有多少人?

如上圖1，圖中A表示語文考試達到90分的人的集合，圖中B表示數(shù)學(xué)考試達到90分的人組成的集合.

解疑釋惑：

若題目條件如(1)所言，那么上圖1中的A、B、C(黃、綠、紅三塊)則分別表示僅語文達90分以上的集合，僅數(shù)學(xué)達90分以上的集合和兩科都達 90分以上的集合，因為“該班每名學(xué)生在語文、數(shù)學(xué)兩科目中至少有一科達到90分以上”，所以這三個集合的總數(shù)加起來就是全班總?cè)藬?shù)100。而根據(jù)前文所述的容斥原理解題思路“先容后斥”，咱們在計算這題的過程中就可以得到等量關(guān)系：

100=70+75-C

所以C=70+75-100=45。

該題如第一問則是相對簡單的情況，給出兩個量，和他們的并集，要求兩者交集的情況就用并集減去總量即可。

若題目條件如(2)所言，想求兩者交集最多，即求C最大的情況，那么，就讓A、B盡量多重疊，極限情況就是A完全容于B，當(dāng)中，即70人;

而要想求兩者最小，那么就是讓A、B盡量少重疊，極限情況是什么呢?

要想C盡量小，那么A,B之間就要盡量地拉開距離，拉得最開的情況是最后A,B,C三塊占滿整個全集I，此時有C最小，全集I=黃+綠+紅=70+57-C

故兩者交集最小為C=70+75-I=45。

求交集最小的情況，在圖形上直接顯示為集合之間拉得最開，僅限情況是最終各塊占滿整個全集，此時即得交集最小。

對于復(fù)雜的容斥問題，我們通過話文氏圖的方式輔助我們分析等量關(guān)系，能夠大大提高解題速率，找到題目的突破口，大家一定要勤加練習(xí)，好好掌握此種方法。

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