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在我國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”意思就是，“一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求適合這個(gè)條件的最小數(shù)？”

類似于這個(gè)問題的題目，我們稱之為剩余問題。

在《孫子算經(jīng)》中給出了它的一種解法：三三數(shù)之，取數(shù)七十，與余數(shù)二相乘；五五數(shù)之，取數(shù)二十一，與余數(shù)三相乘；七七數(shù)之，取數(shù)十五，與余數(shù)二相乘。將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數(shù)。列式計(jì)算就是：70×2＋21×3＋15×2=233，233大于105的2倍210，則所求最小的數(shù)就是233-105×2=23。其中，70、21、15分別是從3、5、7的最小公倍數(shù)3×5×7=105中分別除以3、5、7再乘以相應(yīng)的整數(shù)2、1、1得到的。而70、21、15分別除以3、5、7，余數(shù)都是1。

在明朝時(shí)，數(shù)學(xué)家程大位把這一解法編成四句歌訣：

三人同行七十（70）稀，五樹梅花廿一（21）枝，

七子團(tuán)圓正月半（15），除百零五（105）便得知。

在公務(wù)員的考試中，也有類似的試題出現(xiàn)。除了使用這種基本方法外，有些題目也有自己的性質(zhì)，可以采取一些特別的方法。

例1：某數(shù)除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么這個(gè)數(shù)的最小可能值是（ ）

A.140 B.569 C.712 D.998

解析：這道題的三個(gè)數(shù)分別相乘的結(jié)果比較大，都大于100；而三個(gè)數(shù)的公倍數(shù)則超過2000千，因此，用《孫子算經(jīng)》來解計(jì)算量是很大的。

11-8=3，13-10=3，則要求的這個(gè)數(shù)加上3后，可以被11和13整除，則它加上3后是11和13的最小公倍數(shù)11×13=143的倍數(shù)，檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)四個(gè)選項(xiàng)都符合該條件。另外一個(gè)已知條件就是，這個(gè)數(shù)應(yīng)該加上17-12=5后被17整除，只有D項(xiàng)的998滿足答案。據(jù)此，可排除A、B、C。

正確答案：D

例2：１個(gè)數(shù)除５余３，除６余４，除７余１，這樣的３位數(shù)有幾個(gè)？

解答：5、6、7的最小公倍數(shù)是5×6×7=210，且1000÷210=4……160，則滿足題意的3位數(shù)有4個(gè)或5個(gè)。當(dāng)滿足條件的最小的數(shù)是一個(gè)三位數(shù)且它小于160時(shí)，答案就是5；否則，答案就是4。即當(dāng)一個(gè)數(shù)a滿足題意時(shí)，a+210n（n=0，1，2，……）也滿足題意。

證明如下：

（a+210n）÷5=a÷5+42，則該余數(shù)與a除以5的余數(shù)相同。

同理可得a+210n除以6、7的余數(shù)分別與a除以6、7的余數(shù)相同。

則a+210n和a除以5、6、7的余數(shù)都是相同的。

由于5-3=2，6-4=2，則這個(gè)數(shù)加上2以后，可以被5、6整除，即可以被5、6的最小公倍數(shù)30整除，即該數(shù)=30n+28（n=1，2，3，……）。又因?yàn)樵摂?shù)除以7余1，而28是7的4倍，則30n應(yīng)該除以7余1，而30÷7=4……2，且2×4=8=7+1，則（30×4）÷7=17……1，則最小的滿足條件的數(shù)就是30×4+28=148，是一個(gè)三位數(shù)。

（a+210n）÷5=a÷5+42，則該余數(shù)與a除以5的余數(shù)相同。

同理可得a+210n除以6、7的余數(shù)分別與a除以6、7的余數(shù)相同。

則a+210n和a除以5、6、7的余數(shù)都是相同的。

這樣，滿足題意的三位數(shù)就是148，148+210=358，148+2×210=568，148+3×210=568=778，148+4×210=988，一共有5個(gè)。

例3：籃子里裝有不多于500個(gè)蘋果，如果每次二個(gè)、每次三個(gè)、每次四個(gè)、每次五個(gè)、每次六個(gè)地取出，籃子中都剩下一個(gè)蘋果，而如果每次七個(gè)地取出，那么沒有蘋果剩下，籃子中共有多少個(gè)蘋果？

A.298 B.299 　 C.300 D.301

解析：由題目可知，答案應(yīng)該能被7整除，四個(gè)選項(xiàng)中，只有D符合這個(gè)條件。

另外，蘋果的總數(shù)應(yīng)該是2、3、4、5、6的公倍數(shù)再加1，且能被7整除。2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)是60，則蘋果總數(shù)就是60n+1(n=1，2，3，……)。

60n+1應(yīng)該是7的整數(shù)倍，60÷7=8……4，則60n+1=7×8×n+4n+1，即4n+1是7的倍數(shù)，用7的1、2、3……倍試算，當(dāng)4n+1=7×3=21時(shí)，n=5時(shí)滿足條件的最小值，則60n+1=301。滿足條件的數(shù)就是301。

正確答案：D

例4：一支隊(duì)伍不超過6000人，列隊(duì)時(shí)，2人一排，3人一排，4個(gè)一排……直至10人一排，最后一排都缺一個(gè)人。改為11人一排，最后一排只有1個(gè)人。問這一隊(duì)伍有多少人？

A.4926人 B.5039人 C.5312人 D.5496人

解析：由10人一排時(shí)最后一排缺一人，可知隊(duì)伍人數(shù)的尾數(shù)一定為9，在四個(gè)選項(xiàng)中，只有B項(xiàng)是滿足要求的。

另外，所求人數(shù)加上1后是2、3、4、5、6、7、8、9、10的公倍數(shù)，而6、7、8、9、10的最小公倍數(shù)是2520，則所求人數(shù)就是2520n-1。2520÷11=229……1，則2520-1是可以被11整除，則滿足條件的數(shù)就是2520+2520-1=5039。

正確答案：B

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